ここがクリアできればリーマンテンソルあたりはなんとなく進められると思う。
なので、上記の点をなんとか「簡単に」「イメージを伴いつつ」教えることを目標にする。
そして、邪道かもしれないけど、測地線の方程式を出発点として平行移動を議論できないか考えてみた。
で、思いついたのが以下。
(厳密かどうかは相当疑問ですが...。)
まず、平坦な座標(x)と曲がった座標(y) を考えてみる。
平坦な座標での直線は
\[\frac{{\rm d}^2 x^\mu}{{\rm d}s^2}=0\]
となる。こいつを曲がった座標に移すと次のような方程式が得られる。
\[\frac{{\rm d}^2 y^\mu}{{\rm d}s^2}=-\frac{{\rm d} y^\alpha}{{\rm d}s}\frac{{\rm d} y^\beta}{{\rm d}s}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\]
ここで、$\displaystyle \Gamma^\mu_{\alpha\beta}=\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}\frac{\partial^2 x^\nu}{\partial y^\alpha\partial y^\beta}$とする。
これが測地線方程式となり、クリストッフェル記号が導入できる。
また、ここから、クリストッフェル記号が曲がりと関係していることが想像できる。
測地線の(微小)長さは座標を変えても変わらないので、測地線は平坦の面上での直線に相当する。
次にベクトルの平行移動について考える。
先ほどと同様にまずは平坦な場合を考える。
平坦な座標でのベクトルは直線に沿って一定の角度を保ちつつ移動すればOK。
これを曲がった面上で考えると、直線は測地線となるので、測地線に沿って一定角度を保ちながら移動させれば良いはず。
このとき、測地線の傾きは$\displaystyle v^\mu=\frac{{\rm d}y^\mu}{{\rm d}s}$で表され、角度一定でベクトル$X^\mu$を測地線に沿って動かしたとすると、このベクトルは
おそらく${\rm d}X^\mu$だけずれる。
このとき、$X^\mu v_\mu$を2点間 $\left(y^\mu(s)\right.$と$\left.y^\mu(s+{\rm d}s)\right)$
で比べてみると、
\[X_\mu(s)v^\mu(s)=(X_\mu(s)+{\rm d}X_\mu)v^\mu(s+{\rm d}s)\]
となる。
ここで、右辺の$v^\mu(s+{\rm d}s)$を展開することで、測地線方程式の左辺が現れる。
結局、平行移動した時のずれ${\rm d}X^\mu$が
クリストッフェル記号を用いて表すことができる。
\[{\rm d}X^\mu=\Gamma^\alpha_{\mu\beta}X_\alpha {\rm d}y^\beta\]
これが平行移動した時のずれとなる。
とまあこんな感じで考えてみたけど、果たして正しいんだろうか?
でも曲面上の平行移動はこれが一番直感的な気がするんだけどなぁ。
