年末にもらった宝くじが3,000円当たっていた。 ラッキー。 さて、一般相対論の超々入門について教えることになった。 そもそも自分自身でもあまり理解していないのに微妙だけど...。 とりあえず、なんとか簡単にリーマン幾何をわかりやすく感じられないかどうか考えてみた。 自分自身で振り返ってみると、難しかったのは以下の点。 クリストッフェル記号の導入 ベクトルの平行移動 測地線方程式の導出と意味 ここがクリアできればリーマンテンソルあたりはなんとなく進められると思う。 なので、上記の点をなんとか「簡単に」「イメージを伴いつつ」教えることを目標にする。 そして、邪道かもしれないけど、測地線の方程式を出発点として平行移動を議論できないか考えてみた。 で、思いついたのが以下。 (厳密かどうかは相当疑問ですが...。) まず、平坦な座標(x)と曲がった座標(y) を考えてみる。 平坦な座標での直線は \[\frac{{\rm d}^2 x^\mu}{{\rm d}s^2}=0\] となる。こいつを曲がった座標に移すと次のような方程式が得られる。 \[\frac{{\rm d}^2 y^\mu}{{\rm d}s^2}=-\frac{{\rm d} y^\alpha}{{\rm d}s}\frac{{\rm d} y^\beta}{{\rm d}s}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\] ここで、$\displaystyle \Gamma^\mu_{\alpha\beta}=\frac{\partial y^\mu}{\partial x^\nu}\frac{\partial^2 x^\nu}{\partial y^\alpha\partial y^\beta}$とする。 これが測地線方程式となり、クリストッフェル記号が導入できる。 また、ここから、クリストッフェル記号が曲がりと関係していることが想像できる。 測地線の(微小)長さは座標を変えても変わらないので、測地線は平坦の面上での直線に相当する。 次にベクトルの平行移動について考える。 先ほどと同様にまずは平坦な場合を考える。 平坦な座標でのベクトルは直線に沿って一定の角度を保ちつつ移動すればOK。 これを曲がった面上で考えると、
