只今絶賛原稿執筆中。この2年間の結果なのでかなりのボリュームになりそう。
そのうち英語に自動翻訳してくれる機械が生まれてくれないかな...。
さて、今回微分せずに最小値(極値)における二次係数を求めるということをやった。
具体的にはこんなのが対象。
\[f(\alpha)=\int_0^\infty {\rm d} u ~ N(\cos(\alpha),u)\]
実際には$u$について$\infty$まで積分なんてできないのでここは数値計算させる。
そうすると、図を書くために$f(\alpha)$を数値的に求め、極値を求めるために$f'(\alpha)$を数値的に求めて、更に$f''(\alpha)$も数値的に求める必要がある。
そうすると時間がかかって仕方がない。
そこで、$\alpha$を$[0,2\pi]$の間で細かく分割してデータの羅列$(\alpha_0,f(\alpha_0)),(\alpha_1,f(\alpha_1)),\cdots$を作る。
ここから、最も値が小さい点を選び出すと、その前後の3つの点が最小値付近の三点を選んだことになる。最も小さい値を選ぶのはsortとかすれば簡単に得られるはず。
この3点を使って最小値付近の$f(\alpha)$のテイラー級数の二次近似
\[f(\alpha)=A+B(\alpha-\alpha_\text{min})^2+\cdots\]
のパラメータ$A,B,\alpha_\text{min}$を決定することができる。
(３つパラメータがあるので3点必要)
そうすると、一回数値計算をしておけば後は自動的に「最小値」「二次係数」を決めることができる。
面倒なのでどの程度の精度があるのか調べてないけど、大体良さそうな雰囲気。
知り合いに相談すると「最小二乗法にしたら？」と言われたが結局よく分からないので採用せず。
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