ひびのびぼーろく

かねてから読んでみたかった(そして欲しかった)ガウスの数学日記を入手。予想以上にメモ書きで解説が無いと分からない。せっかくなのでその解説を読んで数学雑学を増やす計画。雑学なので別に証明とかはしない。ということでその一：「円周は幾何的に十七分割できる」この分野は円周等分方程式論というらしい。ガウスが19歳の時に発見したらしいが、僕は19歳の時何してただろうか？どうでもいいけど、17歳のときだったら全部17になるのになぁ。さて幾何的にというのは定規とコンパスで作図可能という意味で、実は作画可能ということと二次方程式と関係がある。なぜかと言えば、定規とコンパスを使うと異なる線分の長さを加える、差を取ることができる。線分の自然数倍の長さの線分が作れる。(コンパスで線分をコピーするとできる) 線分の自然数分割ができる。(相似な三角形を作るとできる) 線分の二乗根が作れる。(正方形を作ればその対角線に対応) ので、四則演算と二乗根の計算ができる。つまり定規とコンパスで方程式も解くことができる。そして作図できる=解くことができるのは二次方程式までということになる(もちろん二次方程式の係数に三乗根や$\pi$は入っちゃだめ)。まぁ平たく言えばコンパスは円、定規は直線で、交点を求めるのは二次方程式を解くことに相当すると言われればそうかも。結局円周の17分割ができるというのは、$\cos \frac{2\pi}{17}$はせいぜい二乗根しか含んでいないので作図できるよということらしい。これを別の言い方で言えば、$\cos \frac{2\pi}{17}$が二次方程式の組み合わせで表すことができるので作画可能ということになる。では実際に作画可能かどうか色々考えてみた。正三角形 $\cos\frac{2\pi}{3}$が欲しいので$e^{\frac{2\pi i}{3}}$が解となる方程式 \[z^3-1=0\] を考える。$z=1$は自明な解で、欲しいのはそれ以外なので$z-1$で割った次の方程式を検討すれば良い。(これを円周等分多項式とか円周等分方程式とか呼ぶらしい) \[X=\frac{z^3-1}{z-1}=z^2+z+1=0\] で、これは二次方程式なので作画可能であることが分かる。次は正五角形 \[X=\frac{z^5-1}{z-1}=z^4+z^3...