694びぼーろく; GWに突入した
ので嬉しい。ゆっくりすることにした。 さて、研究室で 一生懸命 適当に育てていたコーヒーの木が14年目にして花を咲かせ、コーヒーの実をつけた。これも嬉しい。
693びぼーろく; 部分積分を使わないで積分したい時
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被積分関数の形によっては一時的に複素数にすると便利だったりするかも。例えば以下のような場合。
$\displaystyle \int_0^L dx e^{-kx}\sin \frac{\pi x}{L} $
正統的な方法としては部分積分だろうなと思うけど、一時的に複素数にすることで次のように計算できる。
$\displaystyle \int_0^L dx e^{-kx}\sin \frac{\pi x}{L}=\text{Re}\int_0^L dx e^{-kx}e^{i\frac{\pi x}{L}}=\text{Re}\frac{1}{-k+i\frac{\pi}{L}}\left[-e^{-kL}-1\right]=-\frac{k}{k^2+\frac{\pi^2}{L^2}}\left[1+e^{-kL}\right]$
$\displaystyle \int_0^L dx e^{-kx}\sin \frac{\pi x}{L} $
正統的な方法としては部分積分だろうなと思うけど、一時的に複素数にすることで次のように計算できる。
$\displaystyle \int_0^L dx e^{-kx}\sin \frac{\pi x}{L}=\text{Re}\int_0^L dx e^{-kx}e^{i\frac{\pi x}{L}}=\text{Re}\frac{1}{-k+i\frac{\pi}{L}}\left[-e^{-kL}-1\right]=-\frac{k}{k^2+\frac{\pi^2}{L^2}}\left[1+e^{-kL}\right]$
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